（24-25高二上·浙江舟山·期末）某校科技小组在体验了如图1所示的过山车游戏项目后，为更好研究过山车运动项目中的物理规律，科技组成员设计出如图2所示的装置。足够长的曲线轨道
、长
的水平直轨道
、半径
的竖直圆环轨道
、长
的水平直轨道
、半径
的水平半圆形管道
、半径
的竖直半圆形管道
间平滑连接，其中圆环轨道
最低点
处的入、出口靠近且相互错开。将一可视为质点、质量为
的小球从曲线轨道
上某处静止释放，刚好沿竖直圆环轨道的内侧通过最高点
。已知两段水平直轨道动摩擦因数都为
，其余轨道阻力不计。两个半圆形管道的内径远小于其半径、且比小球直径略大。求：
(1)小球经过竖直圆环轨道最高点
时的速度大小；
(2)小球经过水平半圆形管道上某点
时，管道对其作用力大小；
(3)若竖直半圆形管道
的半径可在
间调节，则小球从管道
点水平抛出后落到与水平管道
共面的水平面上时，其落地点至
点的最大水平距离是多少？
(4)在满足
的条件下，让小球在曲线轨道
上从
高处静止释放，要使小球能进入竖直圆环轨道
且不脱离装置，求
应满足的条件及小球最终停在水平直轨道上的位置到
点的距离
与
的大小关系。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
；
（
）、
（
）
【知识点】平抛运动速度的计算、绳球类模型及其临界条件、应用动能定理解多段过程问题
【详解】（1）小球刚好沿竖直圆环轨道的内侧通过最高点
，则有
解得
（2）从D点到F点，根据动能定理有
解得
管道作用力的水平分力提供向心力
管道作用力的竖直分力与重力平衡
根据力的合成有
（3）小球从F到H，根据动能定理有
小球平抛运动过程中，竖直方向有
水平方向有
解得
根据数学方法可知，当
时，有极大值。
又因为
，所以当
取
时，水平射程最大，解得
=
（4）若小球刚好在竖直圆环轨道上做完整的圆周运动，则有
解得
必从H点平抛脱离轨道；
要不脱离竖直圆环轨道，则速度减为0的高度不能超过
，根据动能定理有
解得
小球能进入竖直圆环轨道时有
解得
故
若小球刚好返回到B停止，则有
解得
若
，则从竖直圆环轨道上返回后停在水平直轨道BC段，则有
解得：
若
，则从竖直圆环轨道上返回后再次滑上曲线轨道，然后返回停在水平直轨道BC段，则有
解得
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