（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）在芯片制作过程中，对离子注入的位置精度要求极高，通过如图所示的装置可实现离子的高精度注入。立方体区域
的边长为L，以O点为原点，
、
和
分别为x轴、y轴和z轴的正方向建立空间坐标系
。在
平面的左侧有一对平行金属板M、N，板M、N与
面平行，板间距离为d，M、N两板间加有电压，板间同时存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为
的匀强磁场。在板中间的P点有一离子发射源，能沿平行y轴正方向发射质量为m、电荷量为
、速率不同的离子，立方体的
面为一薄挡板，仅在其中心D处开有一小孔供离子（可视为单个离子）进入，D点与P点等高，P、D连线垂直挡板。立方体的
面为水平放置的薄硅片，E、F分别为
和
的中点。当板M、N间的电压大小为
且立方体内匀强磁场的方向沿
方向时，由D点进入的离子恰好注入到硅片
边上，且速度与
边垂直。不计离子间的相互作用力、离子的重力和离子碰撞后的反弹。
（1）比较M、N两板的电势高低和由D点进入的离子的速度大小
；
（2）求立方体内匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）通过调整板M、N间电压，可以控制离子在y轴方向上的注入；通过改变立方体内磁场的方向，可以控制离子在x轴方向上的注入。假设板M、N间的电压大小为
，立方体内的磁场磁感应强度大小不变、方向始终垂直于y轴，为保证进入立方体的离子均能注入硅片且硅片的全部区域都有离子注入，求
的取值范围。
【答案】 （1）M板电势高，
；（2）
；（3）
【解析】（1）根据题意可知，由
点进入的离子在M、N板间做直线运动，因此运动时电场力与洛伦兹力平衡，根据左手定则可知洛伦兹力沿
轴正方向，则电场力应沿
轴负方向，则M板电势高于N板电势。该离子做匀速直线运动，有
解得
（2）离子由
点进入后在立方体
面做匀速圆周运动，离子的轨迹如图1所示
因粒子到达
边时速度垂直
边，则A点为粒子的轨迹圆心，由几何关系得，粒子的轨迹半径
由牛顿第二定律得
解得
（3）在板M、N间的电压确定时，离子在
点的速度大小和离子在磁场中做圆周运动的半径大小也相应确定，在板M、N间，有
离子在立方体内的磁场中运动时，有
联立解得
当粒子注入
点时，离子的轨迹半径最大，
值最大，此时磁场方向沿
轴正方向，取
截面作平面图如图2所示
离子的轨迹如图2中圆弧1所示，由几何关系可知
解得
当粒子注入
点时，离子的轨迹半径最小，
值最小，此时磁场方向沿
轴正方向，离子的轨迹如图2中圆弧2所示。
由几何关系可知
联立解得
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