图像法与微积分的应用题例

例题：某科学小组研制了一种探测器，其速度大小可随运动情况进行调节。如图所示。在某次实验中，该探测器从原点一直沿x轴正向移动，且其速度与位移成反比。已知探测器在A、B两点的速度分别为4m/s和2m/s，O点到B点的位移为2m，则探测器从A点运动到B点的时间为(　　)

A．3/8s              B．1/8s           C．3/4s             D．1/4s

解析：A

图像法：根据题述的速度与位移成反比，可画出1/v随位移x变化的图线，根据v_Ax_A=v_Bx_B可得：O点到A点的位移为，x_A=1m。根据1/v随位移x变化的图线面积等于时间可得探测器从A点运动到B点的时间为（1/2+1/4）×（2-1）×1/2s=3/8s

微积分：xv=4，所以xdx/dt=4，分离变量，得xdx=4dt，积分，得t=x²/8+C（C为任意常数），分别求出v=4和v=2中的x，然后分别代入t=x²/8+C就可以求解经过A、B两点的时刻t_A、t_B。求得A、B两点的时间差t=t_B-t_A,t=3/8