（24-25高三上·北京·开学考试）在宇宙尺度下，物质在空间中的分布是均匀的。大量观测表明，星系（数量巨大的恒星系及星际尘埃组成的系统）间距在逐渐增大，即宇宙正处于膨胀状态。哈勃根据前人观测的数据提出，星系退行速度（远离观测者的速度）v跟星系与观测者的距离r之间的关系为
，这一关系称为哈勃定律，式中H称为哈勃参量，仅与时间有关，目前的测量值为
。根据宇宙学原理，上述哈勃定律适用于宇宙中任何一处的观察者，任何一个星系都会发现其他星系在径向地远离自己而去。
(1)星系退行速度的上限是光速c，根据哈勃参量的目前测量值，估算在地球上人们可以观察到的宇宙的最大距离
。
(2)现在的宇宙仍然处于膨胀状态。如果宇宙物质密度足够大，引力减速作用强，膨胀将会停止，而后又会收缩，这样的宇宙称之为封闭宇宙；如果密度小，引力减速作用弱，宇宙会永远膨胀下去，这样的宇宙称之为开放宇宙。如图所示，以观察者O所在位置为球心，取半径为R、质量为M的球体，球面某处星系的质量为m，退行速度大小为v。
已知：质量分布均匀的球壳对于球壳外部的质点的引力，可以将球壳质量视为集中在球心，然后再应用万有引力公式进行计算；相距为R，质量分别为
和
的两质点之间的引力势能可表示为
，其中G为引力常数。
a.写出球面处该星系与球内物质组成的系统所具有的机械能E的表达式。
b.根据哈勃参量目前测量值，分析说明开放宇宙的密度值
应满足什么条件？（用
和G以及一些数字表示）
【答案】(1)
(2)
，
【知识点】引力势能及其应用
【详解】（1）星系退行速度的上限是光速c，由公式
可知，地球上人们可以观察到的宇宙的最大距离
（2）[1]由
可知系统的引力势能为
星系的动能为
，则系统所具有的机械能
[2]对于开放宇宙，当星系速度达到上限c时，系统机械能
，即
带入
，
联立解得
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