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习题课二　静电力的性质

要点一　非点电荷的电场强度

方法1　对称法

（1）对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法。

（2）在电场中，应用对称性解题可将问题大大简化。

【典例1】　半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　）

A.正电荷，q＝

B.正电荷，q＝

C.负电荷，q＝

D.负电荷，q＝

答案：C

解析：在取走A、B处两段小圆弧上的电荷之前，整个圆环上的电荷在O点产生的场强为零，而取走的A、B处的电荷的电量q_A＝q_B＝，q_A、q_B在O点产生的合场强为E_AB＝＝，方向为从O指向C，故取走A、B处的电荷之后，剩余部分在O点产生的场强大小为，方向由C指向O，而点电荷q放在D点后，O点场强为零，故q在O点产生的场强与q_A、q_B在O点产生的合场强相同，所以q为负电荷，即有k＝k，解得q＝，故C正确。

方法2　补偿法

将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，或将有空腔的球体补全为实球体等。

【典例2】　已知均匀带电球体在球外产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr³，则A点处电场强度的大小为（　　）

A.　　B. C.　　D.

答案：B

解析：先把挖去的空腔补上，由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的电场强度E_整＝＝，挖出的小球半径为，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q'＝Q＝，则其在A点产生的电场强度E_挖＝＝＝。所以挖去空腔剩余部分电荷在A点产生的电场强度E＝E_整－E_挖＝－＝，故B正确。

方法3　微元法

若一个带电体不能视为点电荷，求这个带电体产生的电场在某处的电场强度时，可用微元法的思想把带电体分成很多小块，每块都可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算。

【典例3】　如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电荷量为＋Q，在圆环的最高点用绝缘丝线悬挂一质量为m、带电荷量为q的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，小球到圆环中心O的距离为R，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则小球所处位置的电场强度为（　　）

A. B.

C.k D.

答案：D

解析：由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上很小一部分Δx，圆环总电荷量为Q，则该部分电荷量为Q，该部分电荷在小球处产生的电场强度为E₁＝＝，方向沿该点与小球的连线指向小球；同理取与圆心对称的相同的一段，其电场强度E₁'与E₁大小相等，如图所示，则两个场强的合场强为E₀＝2·cos 45°＝，方向应沿圆心与小球的连线向左；因圆环上各点均在小球处产生电场，则合场强为E＝E₀＝，方向水平向左，选项D正确，C错误；对小球受力分析可知mgtan 45°＝qE，解得E＝，选项A、B错误。

1.如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷，已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为（k为静电力常量）（　　）

A.k B.k

C.k D.k

解析：B　a处电荷量为q的点电荷在b点处产生的电场强度为E＝k，由于q与Q在b点处的合电场强度为零，则圆盘在b处产生的电场强度为E＝k。由对称性知，圆盘在d点处产生的电场强度也为E'＝k。而a点处电荷量为q的点电荷在d点处产生的电场强度为E″＝k，由于a点处的点电荷与圆盘在d点处产生的电场强度方向相同，所以两者在d点处产生的合电场强度为k，故B正确。

2.（2023·江苏淮安高二月考）如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点，距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O'点固定一带正电的点电荷Q，O'、M点间的距离为R，已知P点的电场强度为零，若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的电场强度大小为（　　）

A.0 B.

C. D.－

解析：C　因P点的电场强度为零，所以半球面上的正电荷q在P点产生的电场强度和点电荷Q在P点产生的电场强度等大反向，即半球面上的正电荷q在P点产生的电场强度大小为E₁＝，方向沿轴线向右。现补全右侧半球面，如图所示，根据均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零知，均匀带电的封闭球面在M点产生的电场强度为零，即左半球面在M点产生的电场强度和右半球面在M点产生的电场强度等大反向，又由对称性知左半球面在P点产生的电场强度和右半球面在M点产生的电场强度等大反向，即左半球面在M点产生的电场强度为E₂＝，方向沿轴线向右，点电荷Q在M点产生的电场强度为E₃＝，方向沿轴线向左，故M点的合电场强度为E_M＝－＝，方向沿轴线向左，故C正确。

要点二　电场线和带电粒子的运动轨迹

1.带电粒子做曲线运动时，合力指向轨迹曲线的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向。

2.分析方法

（1）由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向。

（2）由电场力和电场线的方向可判断带电粒子所带电荷的正负。

（3）由电场线的疏密程度可比较电场力的大小，再根据牛顿第二定律F＝ma可判断带电粒子加速度的大小。

【典例4】　某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅受电场力作用，由M运动到N，其运动轨迹如图中虚线所示，以下说法错误的是（　　）

A.粒子带正电荷

B.粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度

C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度

D.粒子在M点的动能小于它在N点的动能

答案：B

解析：根据粒子运动轨迹弯曲的情况，粒子所受电场力应指向运动轨迹的凹侧，又粒子所受电场力的方向沿电场线切线方向，可知此粒子带正电，选项A正确；由于电场线越密，电场强度越大，粒子所受电场力越大，根据牛顿第二定律可知加速度也越大，因此粒子在N点的加速度大于它在M点的加速度，选项B错误，C正确；粒子从M点运动到N点，电场力做正功，根据动能定理知此粒子在N点的动能大于它在M点的动能，选项D正确。

1.如图中实线为一匀强电场的电场线，虚线为一个点电荷仅受电场力作用时的运动轨迹的一部分，则可以知道（　　）

A.电场线方向向右

B.电场线方向向左

C.点电荷是负电荷

D.点电荷经过B点时速度比经过A点时速度大

解析：D　合力的方向大致指向轨迹的凹侧，所以粒子所受电场力方向水平向右，根据题中条件，无法判断点电荷的电性和电场线方向，选项A、B、C错误；若点电荷从A点向B点运动，则电场力与速度方向夹角为锐角，点电荷做加速运动，经过B点时速度比经过A点时速度大，若点电荷从B点向A点运动，则电场力与速度方向夹角为钝角，点电荷做减速运动，经过B点时速度仍比经过A点时速度大，选项D正确。

2.某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（　　）

A.粒子一定带负电

B.粒子一定是从a点运动到b点

C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度

D.粒子在c点的速度一定大于在a点的速度

解析：C　做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的凹侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子可能是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c运动到a，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a运动到c，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，则粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误。

要点三　带电体在电场中的运动

1.带电体在多个力作用下处于平衡状态时，带电体所受合外力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等。

2.带电体在电场中的加速问题与力学中的加速问题分析方法完全相同，带电体的受力仍然满足牛顿第二定律，在进行受力分析时不要漏掉静电力。

【典例5】　（2023·江苏徐州高二期中）如图所示，在水平向右的匀强电场中，有一质量m＝0.2 kg、电荷量q＝1×10^－6 C的带正电小物块恰好静止在倾角θ＝37°的光滑绝缘斜面上，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s²。从某时刻开始，电场强度变为原来的，求：

（1）原来的电场强度大小E₀；

（2）小物块运动的加速度a的大小和方向；

（3）沿斜面下滑距离x＝0.5 m时小物块的速度大小v。

答案：（1）1.5×10⁶ N/C　（2）4 m/s²　方向沿斜面向下　（3）2 m/s

解析：（1）带电物块在斜面上静止时受力如图。

电场力F＝qE₀

根据力的平衡条件有

qE₀ cos θ＝mgsin θ

E₀＝＝ N/C＝1.5×10⁶ N/C。

（2）电场强度变为原来时，根据牛顿第二定律有

mgsin θ－qE₀cos θ＝ma

a＝gsin θ－

＝10×0.6 m/s²－ m/s²＝4 m/s²，方向沿斜面向下。

（3）根据v²＝2ax得

v＝＝ m/s＝2 m/s。

竖直放置的两块足够长的平行金属板间有匀强电场，其电场强度为E，在该匀强电场中，用轻质丝线悬挂质量为m的带电小球，丝线与竖直方向成θ角时小球恰好平衡，此时小球与右金属板间的距离为b，如图所示，已知重力加速度为g。

（1）求小球所带电荷量。

（2）若剪断丝线，则小球多长时间碰到金属板？

答案：（1）　（2）

解析：（1）带电小球受力如图。

根据平衡条件有F_Tcos θ＝mg

F_Tsin θ＝F

又F＝Eq

解得q＝。

（2）剪断丝线，小球受到合力为F_T'＝F_T＝

根据牛顿第二定律有F_T'＝ma，a＝

小球在水平方向加速度a_x＝asin θ

根据b＝a_xt²得t＝。

1.一带负电荷的质点，只在静电力作用下沿曲线abc由a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，图中可能正确的是（虚线是曲线在b点的切线）（　　）

解析：D　质点从a运动到c，质点的速率是递减的，可知质点所受静电力方向与运动方向成钝角，又根据曲线运动条件，可知静电力指向轨迹弯曲的凹侧，因负电荷所受静电力与电场强度方向相反，所以D正确。

2.如图所示，水平实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上两点，若带电粒子在电场中运动时只受电场力作用，则由此图可作出的正确判断是（　　）

A.该粒子带正电荷

B.该粒子运动方向为由a至b

C.带电粒子所受电场力的方向向右

D.带电粒子做匀变速运动

解析：D　做曲线运动的物体速度沿轨迹切线方向，物体受到的合力方向指向轨迹弯曲的内侧，带电粒子只受电场力，故电场力即为所受合力，电场力方向在电场线的切线方向上，若电场线为直线，电场力就沿电场线所在直线，综合判定可知该带电粒子所受电场力水平向左，粒子带负电荷，选项A、C错误；由于粒子在匀强电场中运动，则粒子所受电场力是恒定的，可知粒子运动的加速度不变，选项D正确；粒子运动方向无法判定，选项B错误。

3.如图所示，电荷量为q的正点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过薄板的几何中心。若图中A点处的电场强度为零，静电力常量为k，则带电薄板在图中B点处产生的电场强度（　　）

A.大小为k，方向水平向左

B.大小为k，方向水平向右

C.大小为k，方向水平向左

D.大小为k，方向水平向右

解析：C　由于A点处的电场强度为零，则正点电荷在A点处产生的电场强度大小E₁和带电薄板在A点处产生的电场强度大小E_A相等，即E₁＝E_A＝，电场强度方向相反，则带电薄板在A点处产生的电场强度方向水平向右。由于A、B两点关于带电薄板对称，所以带电薄板在B点产生的电场强度大小E_B和带电薄板在A点产生的电场强度大小E_A大小相等，方向相反，所以E_B＝E₁＝，方向水平向左，故C正确。

4.（2023·江苏如东高二期中）如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10^－6 C，匀强电场的电场强度E＝3.0×10³ N/C，取重力加速度g＝10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：

（1）小球所受电场力F的大小；

（2）小球的质量m；

（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。

答案：（1）3.0×10^－3 N　（2）4.0×10^－4 kg

（3）2.0 m/s

解析：（1）小球所受电场力

F＝qE＝1.0×10^－6×3.0×10³ N＝3.0×10^－3 N。

（2）小球受到重力mg、拉力F_T和电场力F的作用而平衡，如图所示，则＝tan 37°，解得m＝4.0×10^－4 kg。

（3）由mgl（1－cos 37°）＝mv²，解得v＝＝2.0 m/s。

考点一　非点电荷的电场强度

1.（2023·江苏南通高二期末）如图所示，半径为R的导体环的顶端有一宽为l的小狭缝A，且满足l远小于R，在导体环上均匀分布着总电荷量为q的负电荷。已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）

A.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O

B.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A

C.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由O指向A

D.导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O

解析：D　该导体环可认为是从封闭的导体环上取下宽为l的一小段后的剩余部分，对宽为l的一小段导体分析，由于l远小于R，因此可视为点电荷，其在圆心O处产生的电场强度大小为E＝＝，又因为宽为l的一小段导体带负电荷，故电场强度方向由O指向A。根据对称性知，封闭的导体环在圆心O处产生的合电场强度为零，所以宽为l的一小段导体在圆心O处产生的电场强度与该导体环在圆心O处产生的电场强度大小相等、方向相反，则导体环在圆心O处产生的电场强度大小为，方向由A指向O，A、B、C错误，D正确。

2.如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处点电荷的电荷量为－q外，其余各点处点电荷的电荷量均为＋q，则圆心O处（　　）

A.电场强度大小为，方向沿OA方向

B.电场强度大小为，方向沿AO方向

C.电场强度大小为，方向沿OA方向

D.电场强度大小为，方向沿AO方向

解析：C　根据对称性，先假定在A点放上电荷量为＋q的点电荷，O点的电场强度为零，即B、C、D、E四个点处的点电荷在O点的电场强度方向沿OA方向，大小为，再与A处的－q在O点的电场强度叠加，则O点的电场强度大小为，方向沿OA方向，C正确。

考点二　电场线和带电粒子的运动轨迹

3.如图所示，带箭头的曲线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若只考虑静电力的情况下，则下列判断中正确的是（　　）

A.若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电

B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电

C.若粒子是从B运动到A，则其加速度增大

D.若粒子是从B运动到A，则其速度减小

解析：B　根据做曲线运动的物体所受合外力指向轨迹的凹侧，可知静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点时受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C错误；从B到A过程中静电力与速度的方向成锐角，速度增大，故D错误。

4.一带电粒子以某一速度进入水平向右的匀强电场E中，在电场力作用下形成如图所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右端。不计粒子重力，下列表述正确的是（　　）

A.粒子在M点的速率最大

B.粒子所受电场力与电场方向相同

C.粒子在电场中的加速度不变

D.粒子速率先增大后减小

解析：C　粒子做曲线运动，受到指向曲线弯曲的内侧的电场力，可知粒子所受电场力与电场方向相反，粒子受到的电场力方向向左，在向右运动的过程中，电场力对粒子做负功，粒子的速率减小，运动到M点时，粒子的速率最小，然后粒子向左运动时，电场力做正功，粒子的速率增大，故A、B、D错误；粒子在匀强电场中只受到恒定的电场力作用，故粒子在电场中的加速度不变，故C正确。

5.如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则（　　）

A.a一定带正电，b一定带负电

B.a的速度将减小，b的速度将增加

C.a的加速度将减小，b的加速度将增加

D.两个粒子的动能，一个增加一个减小

解析：C　由曲线轨迹只能判断出a、b受力方向相反，带异种电荷，无法判断哪个带正电荷，A错误；由粒子的偏转轨迹可知静电力对a、b均做正功，动能增加，B、D错误；由电场线的疏密可判定，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b正好相反，C正确。

考点三　带电体在电场中的运动

6.如图所示，带正电的金属滑块质量为m，电荷量为q，与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ（μ＜1）。水平面上方有水平向右的匀强电场，电场强度为E＝。如果在A点给滑块一个向左的大小为v的初速度，滑块运动到B点时速度恰好为零，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　）

A.滑块运动到B点后将保持静止

B.滑块运动到B点后将返回向A点运动，来回所用时间相同

C.滑块运动到B点后将返回向A点运动，到A点时速度大小仍为v

D.滑块回到A点时速度大小为v

解析：D　滑块运动到B点后，虽然速度减小为零，但水平方向仍受电场力的作用，且F_电＝Eq＝mg，F_摩＝μmg，显然电场力大于摩擦力，滑块将返回向A点运动，选项A错误；由A到B运动的加速度为a_AB＝＝（μ＋1）g，由B到A运动的加速度为a_BA＝＝（1－μ）g，而位移大小相同，所以运动时间不可能相同，滑块再次运动到A点的速度大小也不可能为v，选项B、C错误；根据公式v²＝2ax可得滑块回到A点时的速度大小为v，选项D正确。

7.（2023·江苏泰州高二期中）如图所示，一匀强电场的电场强度方向与水平方向的夹角为θ。现有一带电小球以初速度v₀由A点水平射入该匀强电场，恰好做直线运动，由B点离开电场。已知带电小球的质量为m，电荷量为q，A、B之间的距离为d，重力加速度为g。试分析：

（1）带电小球的电性；

（2）匀强电场的电场强度的大小；

（3）小球经过B点时的速度v_B。

答案：（1）正电　（2）　（3）

解析：（1）小球进入电场后受两个力的作用：重力mg和电场力qE，若要保证小球做直线运动，则小球必然带正电，并且所受电场力qE和重力mg的合力F沿直线AB水平向右。

（2）由（1）中结论和几何关系可知mg＝qEsin θ，所以匀强电场的电场强度大小为E＝。

（3）小球在恒力作用下由A到B做匀加速直线运动，合力F＝，由牛顿第二定律得加速度a＝，由匀变速直线运动的规律得－＝2ad，则v_B＝。

8.如图所示，一段均匀带电的半圆形细绝缘体在其圆心O处产生的电场强度为E，现把细绝缘体分成等长的AB、BC、CD三段圆弧，则圆弧BC在圆心O处产生的电场强度的大小是（　　）

A.E B.

C. D.

解析：B　设细绝缘体带正电，三段圆弧中每段圆弧在圆心O处产生的电场强度大小为E'，将三段圆弧产生的电场强度画在图中。AB、CD两段圆弧在圆心O处产生的电场强度方向的夹角为120°，这两者的合电场强度大小为E'，方向与BC在圆心O处产生的电场强度的方向相同。所以三段圆弧在圆心O处产生的合电场强度大小E＝2E'，则E'＝，即圆弧BC在圆心O处产生的电场强度的大小是，故选B。

9.如图所示，在竖直放置的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处放一点电荷，将质量为m、带电荷量为q的小球从圆弧管的水平直径端点C由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力。则放于圆心处的点电荷在C点产生的电场强度大小为（　　）

A. B.

C. D.

解析：B　在B点由库仑力和重力的合力提供向心力，则qE－mg＝m，所以qE＝m＋mg，小球从C到B电场力不做功，由动能定理得mgR＝mv²，联立可得E＝，点电荷在C点产生的电场强度大小与B点相同，故B正确。

10.如图所示的水平匀强电场中，将两个带电小球M和N分别沿图示路径移动到同一水平线上的不同位置。释放后，M、N保持静止。不计重力，则（　　）

A.M的带电荷量比N的大

B.M带负电荷，N带正电荷

C.静止时M受到的合力比N的大

D.移动过程中匀强电场对M做正功

解析：B　由于M、N释放后能保持静止，故电场对M、N的作用力一定与M、N间的静电力等大反向，因此两个小球所带电荷量大小一定相等，A错误；M、N一定带异种电荷，则匀强电场对M的作用力一定向左，M带负电荷，N带正电荷，B正确；静止时两小球受到的合外力均为零，C错误；M受到匀强电场施加的电场力方向水平向左，移动过程中，M受到的电场力对其做负功，D错误。

11.在一个水平面上建立x轴，在过原点O垂直于x轴的平面的右侧空间有一匀强电场，电场强度的大小E＝6×10⁵ N/C，方向与x轴正方向相同，在O处放一个带电荷量q＝－5×10^－8 C，质量m＝10 g的绝缘物块，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，沿x轴正方向给物块一个初速度v₀＝2 m/s，如图所示，求物块最终停止时的位置。（g取10 m/s²）

答案：O点左侧0.2 m处

解析：当物块沿x轴正方向运动时，受到沿x轴负方向的静电力F和滑动摩擦力F_f。静电力大小为F＝Eq，滑动摩擦力大小为F_f＝μF_N＝μmg。

设物块沿x轴正方向运动离O点的最远距离为s，此过程中由动能定理得－（F＋F_f）s＝－m

联立解得s＝＝0.4 m

由于F＞F_f，当物块运动到沿x轴正方向离O点的最远距离时，又返回向x轴负方向运动，设最终停止时在O点左侧s'处。

在物块向x轴负方向运动的过程中，由动能定理得（F－F_f）s－F_fs'＝0

解得s'＝s＝0.2 m。